日頭落盡，暑氣未散。

唐王府后院的石桌上擺著幾碟小菜。蘇小婉熬的綠豆湯盛在青瓷碗里，碗壁凝著一層細(xì)密水珠。

李晨從北大學(xué)堂回來，汗?jié)窳税爰雷印?/p>

柳輕顏?zhàn)谑琅?，面前攤著一摞麻紙。紙上密密麻麻寫著算式，手邊一盞油燈，燈芯撥得不高，火苗被晚風(fēng)一撲，搖得滿紙光影亂晃。

“還在算？”

李晨在她對面坐下，端起綠豆湯喝了一口。

“算不出。”

柳輕顏沒抬頭，筆尖在紙上點(diǎn)了一下，又劃掉一行。

“學(xué)生們問了個問題。關(guān)于壓縮機(jī)殼體的振動。楊素素給的參數(shù)里，有一組數(shù)據(jù)怎么都配不上。妾身用實(shí)數(shù)算了三遍，結(jié)果都不一樣?！?/p>

“什么數(shù)據(jù)？”

“摩擦焊的時候，銅管和鑄鐵殼體之間的應(yīng)力分布。楊素素說震動頻率有奇特的相位偏移。用普通的三角法算，越算越復(fù)雜。妾身懷疑問題出在波動的相位上?！?/p>

李晨放下碗，湊過去看了一眼。

麻紙上畫著波形圖，正弦曲線密密麻麻。實(shí)部虛部混在一起，標(biāo)注的小字工工整整。

“用復(fù)數(shù)試試?！?/p>

柳輕顏的筆停住了。

“復(fù)數(shù)？王爺說的是實(shí)部虛部那個復(fù)數(shù)？”

“對。波動問題用實(shí)數(shù)強(qiáng)算，當(dāng)然越算越亂。換成復(fù)數(shù)，相位差就變成了角度，幅值就是模長。原來的三角函數(shù)疊加，全變成了復(fù)數(shù)的乘除?！?/p>

柳輕顏抬起頭。燈光映在臉上，眼角的細(xì)紋被照得柔和。

“王爺也懂這個？”

“懂一些。但沒你深。你在北大學(xué)堂教數(shù)學(xué)，學(xué)生叫你什么？柳大家？”

“學(xué)生叫我柳先生?！?/p>

柳輕顏把筆擱下，嘴角彎了彎。

“背地里叫鐵算盤?！?/p>

“鐵算盤好。比那些只會念經(jīng)的酸儒強(qiáng)。”

李晨又翻了一頁麻紙。

上面畫著螺桿壓縮機(jī)的齒面曲線。陽轉(zhuǎn)子四齒，陰轉(zhuǎn)子六齒，齒面間隙標(biāo)著零點(diǎn)零五毫米。

“楊素素說，齒面間隙再小，加工時會出渦旋振動。用你的數(shù)學(xué)能不能算出來，振動最厲害的點(diǎn)在哪個位置？”

“能算。但需要的工具不對?！?/p>

柳輕顏站起來，走到廊下。

西邊還掛著最后一抹晚霞，像燒紅的鐵塊慢慢涼下去。

“王爺，你今天在北大學(xué)堂講熱的本源。妾身沒去，但聽陳默回來轉(zhuǎn)述了幾句。你說熱量不會自發(fā)從低溫流向高溫，但人可以。學(xué)生回去以后全在討論。”

“討論什么？”

“說王爺講的不是物理，是人心?！?/p>

“物理就是人心。人心就是物理。沒什么兩樣?！?/p>

“那虛數(shù)也是人心？”

柳輕顏轉(zhuǎn)身，倚著廊柱，目光落在李晨臉上。

“王爺跟妾身說句實(shí)話。這個虛數(shù)，到底是不是數(shù)？一個平方之后等于負(fù)一的東西，世上哪里有？沒有的東西，為什么算出來的結(jié)果偏偏是對的？妾身有時候算到半夜，越算越覺得這東西像是……假的?？杉俚臑槭裁催@么有用？”

“你覺得假，是因?yàn)槟氵€沒看清它是什么?！?/p>

李晨也走到廊下。

晚風(fēng)從西邊吹來，帶著水電站那邊的潮氣，總算有了一絲涼意。

“來，坐下。今天我給你講講虛數(shù)的來歷。講完了，你就知道它假不假了?！?/p>

柳輕顏?zhàn)厥琅?，重新拿起筆。這次她把油燈撥亮了些，燈花嗶剝響了一聲。

“人最早認(rèn)識數(shù)字的時候，只有正整數(shù)。一個蘋果，兩只羊，三塊石頭。這些數(shù)字足夠應(yīng)付過日子。”

“但很快遇到麻煩?！?/p>

李晨伸出三根手指。

“三個蘋果，拿走五個，怎么辦？三減五等于多少？”

“負(fù)數(shù)?！绷p顏說。

“對。負(fù)數(shù)不是現(xiàn)實(shí)里能看見的蘋果數(shù)量，但它能代表方向。賬戶里有銀子，是正數(shù)。欠了錢，是負(fù)數(shù)。世界上沒有負(fù)一個蘋果，但負(fù)數(shù)有用。它解決了一個舊體系解決不了的新問題?！?/p>

“然后呢？”柳輕顏問。

“然后又遇到新問題。兩個數(shù)相乘等于一，在整數(shù)里找不到。于是有了分?jǐn)?shù)。整數(shù)加分?jǐn)?shù)，組成有理數(shù)。再后來，一個正方形邊長為一，對角線多長？勾股定理算出根號二。根號二既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)。于是有了無理數(shù)?！?/p>

“每一次數(shù)學(xué)擴(kuò)展，都是因?yàn)榕f的體系解決不了新的問題。不是數(shù)學(xué)家憑空創(chuàng)造新東西，是現(xiàn)實(shí)問題逼著數(shù)學(xué)不斷往外擴(kuò)?！?/p>

李晨的聲音頓了一下。

“正整數(shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)。每一樣剛出現(xiàn)的時候，都被人罵過。罵負(fù)數(shù)荒唐，罵無理數(shù)是瘋子的數(shù)字?？山Y(jié)果呢？現(xiàn)在哪個人離得開負(fù)數(shù)？哪個人離得開無理數(shù)？你算圓面積，能不用圓周率？”

“虛數(shù)也一樣。”

“哪里一樣？虛數(shù)更離譜?！?/p>

柳輕顏皺眉。

“負(fù)數(shù)好歹能想成欠錢。無理數(shù)好歹能畫成對角線。虛數(shù)怎么畫？虛的?？床灰娒恢?。王爺說現(xiàn)實(shí)問題逼出虛數(shù)，可現(xiàn)實(shí)里哪里有一個虛的東西？”

“問題不在現(xiàn)實(shí)里有沒有。問題在舊數(shù)學(xué)解決不了新問題?！?/p>

李晨用手指蘸了點(diǎn)綠豆湯，在石桌上畫了一條線。

“故事要從很久以前說起，那時候數(shù)學(xué)家之間流行一種挑戰(zhàn)。你出一道方程我來解，誰解決更復(fù)雜的問題，誰就是高手?！?/p>

“最難的題之一就是三次方程。后來有個叫卡爾達(dá)諾的人，找到了三次方程的通用解法。轟動一時。但在推導(dǎo)過程中，他遇到了一個東西——負(fù)數(shù)的平方根。”

“根號負(fù)一。”柳輕顏說。

“對。按照以前的規(guī)則，這不存在。因?yàn)槿魏我粋€數(shù)平方之后都是正數(shù)。二的平方等于四。負(fù)二的平方也等于四。沒有哪個數(shù)平方以后等于負(fù)一。所以當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家覺得這個東西沒有意義，有人直接把它叫虛假的量?！?/p>

“虛假的量。”

柳輕顏念了一遍，像在嚼這四個字的味道。

“但有個數(shù)學(xué)家提出了一個大膽的想法。既然這個東西在公式里出現(xiàn)了，為什么不能假設(shè)它存在？于是他定義了一種新的數(shù)字，它的平方等于負(fù)一。這個數(shù)字后來被叫做i。虛數(shù)單位?！?/p>

李晨在石桌上寫了個小小的i。

水漬在青石上慢慢洇開，筆畫漸漸模糊。

“剛開始很多人接受不了，畢竟它不像普通數(shù)字，你在現(xiàn)實(shí)里找不到i個蘋果。但數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一件非常神奇的事情。只要允許i存在，很多原本復(fù)雜的問題突然就解決了。三次方程解決了。大量代數(shù)公式變得統(tǒng)一，數(shù)學(xué)開始慢慢接受這種新數(shù)字?！?/p>

“后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，虛數(shù)并不是孤零零的數(shù)字。真正重要的是復(fù)數(shù)。一個普通數(shù)字加上一個虛數(shù)組成的數(shù)字。比如三加二i。這里三叫實(shí)部，二i叫虛部。它既包含普通數(shù)字的信息，也包含虛數(shù)的信息?！?/p>

李晨又在桌上畫了個坐標(biāo)系。

“那這個東西到底代表什么？直到后來，數(shù)學(xué)家給出了一個非常漂亮的答案。復(fù)數(shù)其實(shí)可以看成二維空間的一個點(diǎn)。三加二i，橫坐標(biāo)是三，縱坐標(biāo)是二。實(shí)數(shù)是一條線，復(fù)數(shù)是一整個平面?！?/p>

柳輕顏盯著桌上的水漬圖，呼吸忽然輕了。

“這個發(fā)現(xiàn)非常重要?！?/p>

李晨的聲音沉下來。

“因?yàn)樵谄胀〝?shù)字里面，乘法只是放大和縮小。但在復(fù)數(shù)的世界里，乘法還藏著一個功能——旋轉(zhuǎn)?！?/p>

“旋轉(zhuǎn)？”

“比如乘以i，相當(dāng)于讓一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)九十度。再乘一個i，再旋轉(zhuǎn)九十度。連續(xù)旋轉(zhuǎn)兩次就是一百八十度。所以i乘以i等于負(fù)一。這在幾何上看特別直觀。一個方向旋轉(zhuǎn)一百八十度，就到了相反的方向?！?/p>

柳輕顏?zhàn)テ鸸P，在麻紙上畫起來。

先畫一個點(diǎn)，標(biāo)上一。然后乘以i，轉(zhuǎn)到正上方，標(biāo)上i。再乘以i，轉(zhuǎn)到左邊，標(biāo)上負(fù)一。

“原來如此?！?/p>

她的聲音很輕，像在自言自語。

“原來虛數(shù)不是假的，它只是描述旋轉(zhuǎn)的另一種語言。旋轉(zhuǎn)九十度，旋轉(zhuǎn)一百八十度，旋轉(zhuǎn)兩百七十度。轉(zhuǎn)一整圈又回到起點(diǎn)。實(shí)數(shù)軸加上虛數(shù)軸，就是一個平面上的坐標(biāo)系?！?/p>

“這就是你的鐵算盤里缺的那塊東西?！?/p>

李晨點(diǎn)頭。

“后來有個叫歐拉的數(shù)學(xué)家，發(fā)現(xiàn)了一個更神奇的公式。e的iθ次方等于cosθ加i乘sinθ。這個公式把幾個數(shù)學(xué)里最重要的東西連在了一起。自然對數(shù)的底、圓周率、虛數(shù)。它告訴我們，指數(shù)增長、圓周運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)，背后都是同一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！?/p>

“同一個結(jié)構(gòu)?！?/p>

柳輕顏重復(fù)了一句，手指無意識地在紙上畫圈。

“到了后來，物理，復(fù)數(shù)開始展現(xiàn)真正的作用。第一個地方就是交流電。交流電的電壓和電流會不斷周期變化，但不同元件之間會產(chǎn)生時間差。電流可能比電壓提前，也可能滯后。這個時間差叫相位差?！?/p>

“如果用普通數(shù)字計(jì)算，會出現(xiàn)大量三角函數(shù)，非常麻煩。但復(fù)數(shù)出現(xiàn)之后，震蕩大小對應(yīng)復(fù)數(shù)長度，變化方向?qū)?yīng)復(fù)數(shù)的角度。所有問題一下子變成了簡單的乘法?！?/p>

“王爺說的是電？”柳輕顏的眼睛亮了。

“不只是電。光、聲波、無線通信，本質(zhì)上都是波。波最重要的兩個東西，一個是強(qiáng)弱，一個是相位。復(fù)數(shù)剛好天然適合描述這兩個東西。所以今天的通信、雷達(dá)、圖像處理，幾乎都離不開復(fù)數(shù)。”